Question

10．關(guān)于x的不等式|x-1|＞a+1（a∈R）的解集為A．
（1）若a=1，解不等式；
（2）求A；
（3）B={x|x=2k-1，k∈Z}，若C_RA∩B中有且只有5個(gè)元素．求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時(shí)，關(guān)于x的不等式即|x-1|＞2，由此求得x的范圍．
（2）分類討論a的值，分a＜-1、a=-1、a＞-1三種情況，分別求得A．
（3）B={x|x=2k-1，k∈Z}表示奇數(shù)集合，再分當(dāng)a＜-1、a=-1、a＞-1三種情況，分別求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）a=1時(shí)，關(guān)于x的不等式即|x-1|＞2，即x-1＜-2 或x-1＞2，
求得它的解集為{x|x＜-1 或x＞3}．
（2）當(dāng)a＜-1時(shí)，a+1＜0，不等式|x-1|＞a+1（a∈R）的解集為A=R；
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式|x-1|＞0的解集為A={x|x≠1}；
當(dāng)a＞-1時(shí)，a+1＞0，由|x-1|＞a+1，可得x-1＞a+1，或x-1＜-a-1，
求得它的解集為{x|x＞a+2，或 x＜-a}．
（3）B={x|x=2k-1，k∈Z}表示奇數(shù)集合，當(dāng)a＜-1，若C_RA=∅，不滿足C_RA∩B中有且只有5個(gè)元素；
當(dāng)a=-1時(shí)，A={1}，不滿足當(dāng)C_RA∩B中有且只有5個(gè)元素；
當(dāng)a＞-1時(shí)，C_RA=[-a，a+2]，故[-a，a+2]中含有5個(gè)奇數(shù)，
而這5個(gè)奇數(shù)的間距為8，如：1，3，5，7，9，
故a+2-（-a）≥8，求得a≥3．
綜上可得，a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．