Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a，b]D，使得函數(shù)f（x）滿足：
①f（x）在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)；
②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]是函數(shù)f（x）的“和諧區(qū)間”．
下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A.函數(shù)f（x）=x2（x≥0）存在“和諧區(qū)間”
B.函數(shù)f（x）=2x（x∈R）存在“和諧區(qū)間”
C.函數(shù)f（x）= （x＞0）不存在“和諧區(qū)間”
D.函數(shù)f（x）=log2x（x＞0）存在“和諧區(qū)間”

Answer 1

【答案】D
【解析】解：A中，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
B中，當(dāng)x∈R時，f（x）=2x在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
C中，f（x）= （x＞0）是單調(diào)減函數(shù)，且f（x）在[1，2]上的值域是[ ，1]，∴不存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
D中，當(dāng)x＞0時，f（x）=log2x是單調(diào)增函數(shù)，假設(shè)存在[a，b]滿足題意，則f（a）=2a，且f（b）=2b，即log2a=2a，且log2b=2b；
∴22a=a，且22b=b，即4a=a，且4b=b；這與函數(shù)的單調(diào)性矛盾，∴假設(shè)不成立，即函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”，原命題不正確；
故選D．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的值域(求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的)．