Question

有兩枚均勻的硬幣和一枚不均勻的硬幣，其中不均勻的硬幣拋擲后出現(xiàn)正面的概率為

2

3

．小華先拋擲這三枚硬幣，然后小紅再拋擲這三枚硬幣．
（1）求小華拋得一個正面兩個反面且小紅拋得兩個正面一個反面的概率；
（2）若用ξ表示小華拋得正面的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；
（3）求小華和小紅拋得正面?zhèn)�數(shù)相同（包括0個）的概率．

Answer 1

分析：（1）設A表示事件“小華拋得一個正面兩個反面”，B表示事件“小紅拋得兩個正面一個反面”，可得P（A），P（B），由獨立事件的概率公式可得；
（2）由題意ξ的取值為0，1，2，3，可求其概率，可得ξ的分布列，進而可得數(shù)學期望；（3）設C表示事件“小華和小紅拋得正面?zhèn)�數(shù)相同”，所求概率為P（C）=P（ξ=0）²+P（ξ=1）²+P（ξ=2）²+P（ξ=3）²，代入數(shù)據(jù)計算可得．

解答：解：（1）設A表示事件“小華拋得一個正面兩個反面”，
B表示事件“小紅拋得兩個正面一個反面”，
則P（A）=(

1

2

×

1

2

×

1

3

)×2+

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

3

，…（2分）
P（B）=(

1

2

×

1

2

×

2

3

)×2+

1

2

×

1

2

×

1

3

=

5

12

，…（4分）
則小華拋得一個正面兩個反面且小紅拋得兩個正面一個反面的概率為
P（AB）=P（A）P（B）=

1

3

×

5

12

=

5

36

．                   …（6分）
（2）由題意ξ的取值為0，1，2，3，且P(ξ=0)=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

；
P(ξ=1)=

1

3

；P(ξ=2)=

5

12

；P(ξ=3)=

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

6

．
所求隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 12	1 3	5 12	1 6

…（10分）
數(shù)學期望E(ξ)=0×

1

12

+1×

1

3

+2×

5

12

+3×

1

6

=

5

3

．           …（12分）
（3）設C表示事件“小華和小紅拋得正面?zhèn)�數(shù)相同”，
則所求概率為P（C）=P（ξ=0）²+P（ξ=1）²+P（ξ=2）²+P（ξ=3）²
=(

1

12

)2+(

1

3

)2+(

5

12

)2+(

1

6

)2=

23

72

．
所以“小華和小紅拋得正面?zhèn)�數(shù)相同”的概率為

23

72

．       …（16分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望的求解，涉及獨立事件的概率公式，屬中檔題．