Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d（a＞0）的圖象如圖所示，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1）和（x₀，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，x₀）．
（1）求c，d的值；
（2）若x₀=5，方程f（x）=8a有三個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象過點（0，3），且f′（1）=0，建立方程，即可求c，d的值；
（2）先求出b=-9a，問題轉(zhuǎn)化為ax²-6ax+5=0有2個不同的實根，根據(jù)根的判別式得到不等式解出即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b，
（1）由圖可知，函數(shù)f（x）的圖象過點（0，3），且f′（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3a+2b+c-3a-2b=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
（2）由（1）得：f′（x）=3ax²+2bx-（3a+2b），
由題意得：1，5是方程f′（x）=0的2個根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2b}{3a}=3}\\{-\frac{3a+2b}{3a}=5}\end{array}\right.$，解得：b=-9a，
∴f（x）=ax³-9ax²+15ax+3，
方程f（x）=8a有三個不同的根，
即方程ax³-9ax²+15ax+3-8a=0有三個不同的根，
令g（x）=ax³-9ax²+15ax+3-8a，
得：g′（x）=3（ax²-6ax+5），
問題轉(zhuǎn)化為ax²-6ax+5=0有2個不同的實根，
∴△=36a²-20a＞0，解得：a＞$\frac{5}{9}$或a＜0（舍）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的解析式，屬于中檔題．