Question

17．設(shè)正數(shù)P₁、P₂，…，P₂ⁿ滿足P₁+P₂+P₃+…P_2ⁿ=1，求證：P₁lnp₁+P₂lnp₂+…+P${\;}_{{2}^{n}}$lnp_2ⁿ≥-n．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-x+1，可得g′（x）=lnx，則當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得xlnx≥x-1．令x=2ⁿP_i，則有2ⁿP_iln（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，兩邊同除以2ⁿ，可得，P_iln（2ⁿP_i）≥P_i-$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用“累加求和”化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-x+1，
∴g′（x）=lnx，則當(dāng)x≥1時(shí)，lnx≥0，g′（x）≥0，即g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=0，即xlnx-x+1≥0，
∴xlnx≥x-1．
令x=2ⁿP_i，則有2ⁿP_iln（2ⁿP_i）≥2ⁿP_i-1，兩邊同除以2ⁿ，可得，P_iln（2ⁿP_i）≥P_i-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
利用“累加求和”可得：p₁ln（2ⁿP₁）+p₂log₂（2ⁿP₂）+P₃log₂（2ⁿP₃）+…+P_2ⁿlog₂（2ⁿP_2ⁿ）≥p₁+p₂+…+P_2ⁿ-1，
化簡(jiǎn)可得，（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）ln（2ⁿ）+P₁log₂P₁+…+P_2ⁿlog₂P_2ⁿ≥（P₁+P₂+…+P_2ⁿ）-1•
∵P₁+P₂+…P_2ⁿ=1，
∴l(xiāng)n（^₂n）+P₁lnP₁+…+P_2ⁿlnP_2ⁿ≥0，
∴n+P₁lnP₁+…+P_2ⁿlnP_2ⁿ≥0，
∴P₁lnP₁+…+P_2ⁿlnP_2ⁿ≥-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法，考查了“累加求和”方法與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．