Question

1．用比較法證明以下各題：
（1）已知a＞0，b＞0．求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$．
（2）已知a＞0，b＞0．求證：$\frac{\sqrt{a}}$+$\frac{a}{\sqrt}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．

Answer 1

分析 （1）作差可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$=$（\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt}）^{2}$，由完全平方的性質(zhì)可得；
（2）作差變形可得$\frac{\sqrt{a}}$+$\frac{a}{\sqrt}$-$\sqrt{a}$-$\sqrt$=（b-a）$\frac{\sqrt-\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$，可證不等式．

解答 證明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$
=$（\frac{1}{\sqrt{a}}）^{2}$-2$\frac{1}{\sqrt{a}}$•$\frac{1}{\sqrt}$+$（\frac{1}{\sqrt}）^{2}$
=$（\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt}）^{2}$≥0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\frac{2}{\sqrt{ab}}$；
（2）∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{\sqrt{a}}$+$\frac{a}{\sqrt}$-$\sqrt{a}$-$\sqrt$
=$\frac{\sqrt{a}}$-$\sqrt{a}$+$\frac{a}{\sqrt}$-$\sqrt$
=$\frac{b-a}{\sqrt{a}}$+$\frac{a-b}{\sqrt}$
=（b-a）（$\frac{1}{\sqrt{a}}$-$\frac{1}{\sqrt}$）
=（b-a）$\frac{\sqrt-\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$≥0
∴$\frac{\sqrt{a}}$+$\frac{a}{\sqrt}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$

點評 本題考查作差法證明不等式，屬基礎(chǔ)題．