Question

8．已知a＞0，b＞0，比較a^ab^b和（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 作商：$\frac{{a}^{a}^}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=$（\frac{a}）^{\frac{a-b}{2}}$．對a，b大小關(guān)系分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：$\frac{{a}^{a}^}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=$（\frac{a}）^{\frac{a-b}{2}}$．
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，$\frac{a}＞1$，$\frac{a-b}{2}$＞0，∴$（\frac{a}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，∴a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$；
當(dāng)a=b＞0時(shí)，$\frac{a}$=1，a^ab^b=（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$；
當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜$\frac{a}$＜1，$\frac{a-b}{2}$＜0，∴$（\frac{a}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，∴a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．
綜上可得：a^ab^b≥（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b＞0取等號．

點(diǎn)評 本題考查了“作商法”、分類討論、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．