Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁作圓x²+y²=a²的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|=|CF₂|，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±3x
• B． y=±2$\sqrt{2}$x
• C． y=±（$\sqrt{3}$+1）x
• D． y=±（$\sqrt{3}$-1）x

Answer 1

分析 過F₁作圓x²+y²=a²的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|=|CF₂|，可得|BF₁|=2a，求出B的坐標，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：∵過F₁作圓x²+y²=a²的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|=|CF₂|，
∴|BF₁|=2a，
設(shè)切點為T，B（x，y），則利用三角形的相似可得$\frac{y}{a}=\frac{c+x}=\frac{2a}{c}$
∴x=$\frac{2ab-{c}^{2}}{c}$，y=$\frac{2{a}^{2}}{c}$
∴B（$\frac{2ab-{c}^{2}}{c}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$）
代入雙曲線方程，整理可得b=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±（$\sqrt{3}$+1）x，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．