Question

11．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=10，a₂為整數(shù)，且S_n≤S₄．則通項公式a_n=13-3n．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則d=a₂-10．由S_n≤S₄．化為：（n-4）（n+3）a₂≤10（1+n）（n-4），對n分類討論，即可得出．
另解：依題意，S_n≤S₄．可知a₅≤0，且a₄≥0，可得$\left\{\begin{array}{l}{10+4d≤0}\\{10+3d≥0}\end{array}\right.$，解得d范圍，又a₁=10，a₂為整數(shù)，可得d，即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則d=a₂-10．
∵S_n≤S₄．
∴10n+$\frac{n（n-1）}{2}（{a}_{2}-10）$≤40+$\frac{4×3}{2}$（a₂-10），
化為：（n-4）（n+3）a₂≤10（1+n）（n-4），
當n≤3時，a₂≥$\frac{10（1+n）}{n+3}$，
當n=1時，化為a₂≥5；
當n=2時，化為a₂≥6；
當n=3時，化為a₂≥$\frac{20}{3}$；
當n=4時，化為0≤0；
當n≥5時，化為a₂≤$\frac{10（1+n）}{n+3}$=10-$\frac{20}{n+3}$，
∵當n≥5時，$\frac{-20}{n+3}$單調(diào)遞增，∴a₂≤$\frac{10×6}{8}$=$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{20}{3}$≤a₂$≤\frac{15}{2}$，
∵a₂為整數(shù)，
∴a₂=7．
∴d=-3．
∴a_n=10+（n-1）d=13-3n．
另解：依題意，S_n≤S₄．可知a₅≤0，且a₄≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10+4d≤0}\\{10+3d≥0}\end{array}\right.$，
解得$-\frac{10}{3}≤d≤-\frac{5}{2}$，
又a₁=10，a₂為整數(shù)，
∴d=-3，
即可求得a₂=7，
∴d=-3．
∴a_n=10+（n-1）d=13-3n．
故答案為：13-3n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．