Question

如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于兩點.的最大值是，的最小值是，滿足.

(1) 求該橢圓的離心率；

(2) 設(shè)線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，是坐標(biāo)原點.記的面積為，的面積為，求的取值范圍.

 

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、橢圓與直線相交問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，設(shè)出F點坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，得到代入已知中，得到，計算出橢圓的離心率；第二問，根據(jù)題意，設(shè)出橢圓方程和直線方程，兩方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范圍.

試題解析：(1) 設(shè)，則根據(jù)橢圓性質(zhì)得

而，所以有，即，，

因此橢圓的離心率為. （4分）

(2) 由(1)可知，，橢圓的方程為.

根據(jù)條件直線的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線的方程為，

并設(shè)則由消去并整理得

從而有， （6分）

所以.

因為，所以，.

由與相似，所以

. （10分）

令，則，從而

，即的取值范圍是. （12分）

考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、橢圓與直線相交問題.