Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0）且點(diǎn)P（0，1）在C₁上．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂：y²=4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)闄E圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），所以c=1，點(diǎn)P（0，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得b=1，由此能求出橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．因?yàn)橹本�l與橢圓C₁相切，所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0．再由直線和拋物線相切，聯(lián)立方程，運(yùn)用判別式為0，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）因?yàn)闄E圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），所以c=1，
點(diǎn)P（0，1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得$\frac{1}{^{2}}$=1，即b=1，
所以a²=b²+c²=2，
所以橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直線l的斜率顯然存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
因?yàn)橹本�l與橢圓C₁相切，
所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0
整理得2k²-m²+1=0①
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
因?yàn)橹本�l與拋物線C₂相切，所以△=（2km-4）²-4k²m²=0，
整理得km=1②
綜合①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．