Question

1．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點A（1，m）到其焦點的距離為2
（1）求常數(shù)p和m的值
（2）當m＜0時，是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，建立方程，求出p，則拋物線方程可得，進而點A（1，m）代入，求得m的值
（2）先假設存在符合題意的直線，設出其方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與拋物線方程有公共點，求得t的范圍，利用直線AO與L的距離，求得t，則直線l的方程可得．

解答 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點A（1，m）到其焦點的距離為2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，∴p=2
∴拋物線C的方程為：y²=4x，
點A（1，m）代入，可得m=±2；
（2）由題意點A（1，-2），假設存在符合題意的直線l，其方程為y=-2x+t，
與y²=4x聯(lián)立，整理得y²+2y-2t=0，
∵直線l與拋物線有公共點，
∴△=4+8t≥0，解得t≥-$\frac{1}{2}$
又∵直線OA與L的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求得t=±1，
∵t≥-$\frac{1}{2}$，
∴t=1，
∴符合題意的直線l存在，方程為2x+y-1=0．

點評 本題主要考查了直線，拋物線等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查拋物線的定義，屬于中檔題．