Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$．
（1）用單調(diào)性定義證明f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若f（x）在[$\frac{1}{4}$，m]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，求a和m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)任意x₂＞x₁＞0，作差得f（x₂）-f（x₁）＞0即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組解出即可．

解答 解：（1）證明：設(shè)任意x₂＞x₁＞0，則x₂-x₁＞0，x₁ x₂＞0，
∵f（x₂）-f（x₁）=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）-（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的．
（2）∵f（x）在$[{\frac{1}{4}，m}]$上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{4}）=\frac{1}{a}-4=\frac{1}{2}}\\{f（m）=\frac{1}{a}-\frac{1}{m}=2}\end{array}\right.$，
易得a=$\frac{2}{9}$，m=$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義問題，考查單調(diào)性的應(yīng)用，本題是一道中檔題．