Question

12．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²+bx+c（a∈R，c∈R），定義：f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．n≥2，n∈N^*
（1）若b=c=1，當(dāng)n=1，2時(shí)比較f_n（x）與x的大小關(guān)系．
（2）若對(duì)任意的x∈R，都有使得f₂₀₁₂（x）＞x，用反證法證明：4c＞（b-1）²．

Answer 1

分析 （1）分別求出f₁（x），f₂（x），作差比較即可；（2）運(yùn)用反證法得4c≤（b-1）²，得出矛盾．

解答 解：（1）因?yàn)閒₁ （x）=f（x）=x²+x+1，
f₂（x）=f（f₁（x））=（x²+x+1）²+（x²+x+1）+1，
∴f₂（x）-x=（x²+x+1）²+（x²+x+1）+1-x=（x²+x+1）²+x²+2＞0
∴f_n（x）＞x，（n=1，2）；
（2）若4c≤（b-1）²，則F（x）=f（x）-x=0的△≥0，
則存在x₀ 使得f（x₀）=x₀，
f₂（x₀）=f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，
…，
f₂₀₁₂（x₀）=x₀，
與f₂₀₁₂（x）＞x矛盾，
所以假設(shè)不成立，原命題為真．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查新定義問題，考查反證法，是一道中檔題．