Question

18．某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和市場(chǎng)調(diào)查，甲產(chǎn)品的利潤(rùn)與投入資金成正比，乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投入資金的算術(shù)平方根成正比，已知甲、乙產(chǎn)品分別投入資金4萬(wàn)元時(shí)，所獲得利潤(rùn)（萬(wàn)元）情況如下：

投入資金	甲產(chǎn)品利潤(rùn)	乙產(chǎn)品利潤(rùn)
4	1	2.5

該企業(yè)計(jì)劃投入資金10萬(wàn)元生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，那么可獲得的最大利潤(rùn)（萬(wàn)元）是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{65}{16}$
• C． $\frac{35}{8}$
• D． $\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出甲乙產(chǎn)品的利用表達(dá)式，分別求出投入甲乙兩種產(chǎn)品的銷售獲得利潤(rùn)，利用換導(dǎo)數(shù)法求出最大值．

解答 解：∵甲產(chǎn)品的利潤(rùn)與投入資金成正比，
∴設(shè)y=kx，當(dāng)投入4萬(wàn)時(shí)，利潤(rùn)為1，即4k=1，得k=$\frac{1}{4}$，即y=$\frac{1}{4}$x，
∵乙產(chǎn)品的利潤(rùn)與投入資金的算術(shù)平方根成正比，
∴設(shè)y=k$\sqrt{x}$，當(dāng)投入4萬(wàn)時(shí)，利潤(rùn)為2.5=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，即$\sqrt{4}$k=$\frac{5}{2}$，得2k=$\frac{5}{2}$，
即k=$\frac{5}{4}$，即y=$\frac{5}{4}$$\sqrt{x}$，
設(shè)乙產(chǎn)品的投入資金x，則甲產(chǎn)品投入資金10-x，0≤x≤10，
則銷售甲乙產(chǎn)品所得利潤(rùn)y=$\frac{1}{4}$（10-x）+$\frac{5}{4}$$\sqrt{x}$，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=-$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{8\sqrt{x}}$=$\frac{5-2\sqrt{x}}{8\sqrt{x}}$，
由f′（x）＞0得5-2$\sqrt{x}$＞0，即0＜x＜$\frac{25}{4}$，
由f′（x）＜0得5-2$\sqrt{x}$＜0，即x＞$\frac{25}{4}$，
即當(dāng)x=$\frac{25}{4}$時(shí)，函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值，此時(shí)f（$\frac{25}{4}$）=$\frac{1}{4}$（10-$\frac{25}{4}$）+$\frac{5}{4}$$•\sqrt{\frac{25}{4}}$=$\frac{15}{16}$+$\frac{50}{16}$=$\frac{65}{16}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及函數(shù)的最值的求解，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．