Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求該函數的值域；

（2）求不等式的解集；

（3）若對于恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1）利用換元法并結合二次函數的性質即可求出函數值域；（2）利用換元法并結合一元二次不等式的性質，即可求出不等式的解集；（3）將分離于不等式的一端，對另一端求它的最值，進而可以求出的取值范圍。

（1）令，，則，

函數轉化為，，

則二次函數，在上單調遞減，在上單調遞增，

所以當時，取到最小值為，當時，取到最大值為5，

故當時，函數的值域為.

（2）由題得，令，

則，即,

解得或，

當時，即，解得，

當時，即，解得，

故不等式的解集為或.

（3）由于對于上恒成立，

令，，則

即在上恒成立，

所以在上恒成立，

因為函數在上單調遞增，也在上單調遞增，

所以函數在上單調遞增，它的最大值為，

故時，對于恒成立。