Question

10．如圖，正四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的$\sqrt{2}$倍，CD=$\sqrt{2}$，點P在側(cè)棱SD上，且SP=3PD．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）求三棱錐P-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）先證明AC⊥面SBD，然后利用線面垂直的性質(zhì)證明AC⊥SD；
（2）在OD邊上找一點Q，連接PQ，使PQ∥SO．由已知，SO⊥底面ABCD，可得PQ⊥底面ABCD，求出PQ，即可求三棱錐P-ACD的體積．

解答 （1）證明：設AC的中點為O，連接OD，OS．
由已知，AC⊥OD，SO⊥底面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴SO⊥AC，
又∵SO∩DO=O，
∴AC⊥平面SOD，
∵SD?平面SOD，
∴AC⊥SD．…（6分）
（2）解：在OD邊上找一點Q，連接PQ，使PQ∥SO．
由已知，SO⊥底面ABCD，
∴PQ⊥底面ABCD，…（8分）
又由已知$CD=\sqrt{2}，AC=SC=AS=2$，
則$OS=\sqrt{S{D^2}-O{D^2}}=\sqrt{3}$
∵△SDO∽△PDQ，且SP=3PD，
∴$PQ=\frac{1}{4}SO=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•CD=1$，
∴${V_{P-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PQ=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．…（12分）

點評 本題主要考查線面平行的判定，考查三棱錐P-ACD的體積．要求熟練掌握線面平行的判定定理．