Question

15．（1）解方程（x+8）²⁰⁰⁵+x²⁰⁰⁵+2x+8=0；
（2）解方程$\frac{2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+1+\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}}$=${2}^{（x-1）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）原方程變形為：（x+4+4）²⁰⁰⁵+（x+4-4）²⁰⁰⁵+2（x+4）=0，令x+4=t，則原方程變?yōu)椋海╰+4）²⁰⁰⁵+（t-4）²⁰⁰⁵+2t=0，展開化為：2t$（{t}^{2004}+{∁}_{2005}^{2003}{t}^{2002}×{4}^{2}+$…+${∁}_{2005}^{2004}×{4}^{2004}+1）$=0，即可得出．
（2）方程$\frac{2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+1+\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}}$=${2}^{（x-1）^{2}}$≥1，化為$\sqrt{4{x}^{2}+1}$$-\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$≥（x-1）²≥0，化為：4x²+1≥（x²+1）²+1，即2|x|≥x²+1，利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）原方程變形為：（x+4+4）²⁰⁰⁵+（x+4-4）²⁰⁰⁵+2（x+4）=0，
令x+4=t，則原方程變?yōu)椋海╰+4）²⁰⁰⁵+（t-4）²⁰⁰⁵+2t=0，
化為2$（{t}^{2005}+{∁}_{2005}^{2003}{t}^{2003}×{4}^{2}+…+{∁}_{2005}^{2004}t×{4}^{2004}）$+2t=0，
可得：2t$（{t}^{2004}+{∁}_{2005}^{2003}{t}^{2002}×{4}^{2}+$…+${∁}_{2005}^{2004}×{4}^{2004}+1）$=0，
可知：只有當t=0即x=-4時，上述方程成立，因此-4是此方程的唯一的一個實數(shù)根．
（2）∵方程$\frac{2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}}{{x}^{2}+1+\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}}$=${2}^{（x-1）^{2}}$≥1，
∴$2x+\sqrt{4{x}^{2}+1}$≥x²+1+$\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$，
化為$\sqrt{4{x}^{2}+1}$$-\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$≥（x-1）²≥0，
∴$\sqrt{4{x}^{2}+1}$≥$\sqrt{（{x}^{2}+1）^{2}+1}$，
化為：4x²+1≥（x²+1）²+1，
∴2|x|≥x²+1，此式當且僅當x=±1時成立，經(jīng)過驗證x=-1時舍去．
∴原方程的解為：x=1．

點評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．