Question

11．已知tan2α=$\frac{3}{4}$，α∈$（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，f（x）=sin（x+α）+sin（α-x）-2sinα，且對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）≥0成立，試求$sin（α-\frac{π}{4}）$的值．

Answer 1

分析 首先對(duì)所給的三角函數(shù)式進(jìn)行整理，得到最簡(jiǎn)形式，根據(jù)有對(duì)任意x∈R，都有f（x）≥0成立這種恒成立問(wèn)題，分析兩個(gè)因式的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)確定角的范圍，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式計(jì)算得到結(jié)果．

解答 解：依題意f（x）=2sinαcosx-2sinα=2sinα（cosx-1）
由對(duì)任意x∈R，都有f（x）≥0成立，
∵cosx-1≤0，
∴sinα≤0，
∴-$\frac{π}{2}$≤α≤0，
由tan2α=$\frac{3}{4}$，即$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{3}{4}$，
得tanα=-3，（$\frac{1}{3}$舍去），
∴sinα=-$\frac{3}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
則$sin（α-\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα-cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的恒成立確定兩個(gè)因式的符號(hào)，從而確定角的范圍，本題是一個(gè)比較綜合的題目．