Question

4．關(guān)于α的方程$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）=2m-3有解，則m的取值范圍$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$≤m≤$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式和整體思想化簡(jiǎn)可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{7π}{12}$），由三角函數(shù)的值域可得m的不等式，解不等式可得．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{4}$+α）]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos（$\frac{π}{4}$+α）
=$\sqrt{2}$[$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{4}$+α）]
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{7π}{12}$）
由三角函數(shù)的知識(shí)可知$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{7π}{12}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴-$\sqrt{2}$≤2m-3≤$\sqrt{2}$，解得$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$≤m≤$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
故答案為：$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$≤m≤$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及整體的思想，屬基礎(chǔ)題．