Question

 三棱柱的直觀圖及三視圖（主視圖和俯視圖是正方形，左側(cè)圖是等腰直角三角形）如圖，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的正切值.

 

 

Answer 1

【答案】

 解:由三視圖可知，幾何體為直三棱柱—，側(cè)面

為邊長為2的正方形，底面是等腰直角三角形，………２分（1）連BC交于O，連接OD，在中，O，D分別是，

AC的中點，

而平面，平面，平面………………..４分

（2）直三棱柱—中，平面，平面，

 ，，D為AC的中點，，

 平面，①………………..６分

 又，

 在正方形②………………..８分

      由①②，又，

……………………………………………………………9

（3）解法一；提示：所求二面角與二面角C--D互余……………………………………..12

取BC中點H，有DH⊥平面，過H作垂線，垂足為E，

所以二面角C--D的平面角是∠DEH…………….. ……………………12分

，因為二面角A--D與二面角C--D互余，所以二面角A--D的正切值為；……………..14

B

解法二（補形）如圖補成正方體，易得∠O₁OS為二面角的平面角，

……………..14

解法三（空間向量法）以為原點建系，易得

設平面D的法向量由

得令得…………..12

又平面A的法向量

設二面角A--D的平面角為

所以…………..14