Question

15．已知函數(shù)f（x）=a+$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，0]∪{$\frac{2}{e}$}
• C． （-∞，$\frac{2}{e}$）
• D． （-∞，$\frac{2}{e}$）

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=-a和g（x）=$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）只有1個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=a+$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
即y=-a和g（x）=$\sqrt{x}$lnx在（0，+∞）只有1個(gè)交點(diǎn)，
g′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$lnx+$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{1}{\sqrt{x}}$（$\frac{1}{2}$lnx+1），
令g′（x）＞0，解得：x＞e^-2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e^-2，
故g（x）在（0，e^-2）遞減，在（e^-2，+∞）遞增，
故g（x）_min=g（e^-2）=-$\frac{2}{e}$，
在（0，e^-2）時(shí)，g（x）＜0，在x≥1時(shí)，g（x）≥0，
故-a=-$\frac{2}{e}$即a=$\frac{2}{e}$時(shí)，1個(gè)交點(diǎn)，-a≥0即a≤0時(shí)，1個(gè)交點(diǎn)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．