Question

5．定義：實數(shù)a，b，c若滿足a+c=2b，則稱a，b，c是等差的，若滿足$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{2}{c}$，則稱a，b，c是調(diào)和的．已知集合M={x||x|≤2017，x∈Z}，集合P是集合M的三元子集，即P={a，b，c}⊆M，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是調(diào)和的，則稱集合P為“好集”的個數(shù)是1008．

Answer 1

分析 $\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{2}{c}$，且a+c=2b，（a-b）（a+2b）=0，可得a=-2b，c=4b，P={-2b，b，4b}．令-2017≤4b≤2017，解出即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{2}{c}$，且a+c=2b，
∴（a-b）（a+2b）=0，
∴a=b（舍），或a=-2b，∴c=4b，
∴P={-2b，b，4b}
令-2017≤4b≤2017，得-504-$\frac{1}{4}$≤b≤504+$\frac{1}{4}$，
∴“好集”P的個數(shù)為2×504=1008．
故答案：1008．

點評 本題考查了等差數(shù)列、集合的運算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)與解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．