Question

16．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）f（x）=4x²+$\frac{1}{x}$；
（2）g（x）=$\frac{1}{xlnx}$；
（3）f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），則f′（x）=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{8{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{2}$，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，+∞）；
由f′（x）＜0得x＜$\frac{1}{2}$且x≠0，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為為（0，$\frac{1}{2}$]和（-∞，0）．
（2）函數(shù)的定義域為{x|x＞0且x≠1}，
g′（x）=$\frac{-（lnx+1）}{（xlnx）^{2}}$，由g′（x）＞0得1+lnx＜0，即lnx＜-1，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$；
由g′（x）＜0得1+lnx＞0，即lnx＞-1，解得x＞$\frac{1}{e}$且x≠1；
即函數(shù)的遞增求解為（0，$\frac{1}{e}$），遞減求解為（$\frac{1}{e}$，1），（1，+∞）．
（3）函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{cosx（2+cosx）-sinx（-sinx）}{（2+cosx）^{2}}$=$\frac{1+2cosx}{（2+cosx）^{2}}$，
由f′（x）＞0得1+2cosx＞0，即cosx$＞-\frac{1}{2}$，即2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為（2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$），k∈Z，
由f′（x）＜0得1+2cosx＜0，即cosx＜$-\frac{1}{2}$，即2kπ+$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為（2kπ+$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{5π}{3}$），k∈Z．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．