Question

2．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n （n∈N^*），各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₂，b₃=a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}$，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．問是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=-1．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-3．  
上式對(duì)n=1也適合，
∴a_n=2n-3（n∈N^*）． 
則b₁=a₂=1，b₃=a₆=9，
∵b_n＞0，∴b₂=3，公比q=3，
∴b_n=3^n-1．
（2）∵${c_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．
則${T_1}=\frac{1}{3}$，${T_m}=\frac{m}{2m+1}$，${T_n}=\frac{n}{2n+1}$．
設(shè)T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，
則${（\frac{m}{2m+1}）^2}=\frac{1}{3}•\frac{n}{2n+1}$．
∴$n=\frac{{3{m^2}}}{{-2{m^2}+4m+1}}$．  
令n＞0，得2m（m-2）＜1．
∵m是正整數(shù)，∴m=2． 
此時(shí)n=12，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時(shí)，T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．