Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c，且$a=f'（\frac{2}{3}）$．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（$\frac{2}{3}$）=a，求出a的值即可；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax-1，
∴f′（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$a-1=a，
解得：a=-1；
（2）由（1）得：f（x）=x³-x²-x+c，
f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（1，+∞）遞增，在（-$\frac{1}{3}$，1）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．