Question

4．下列四種說法中正確的是③④
①若復數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z³=-2$\sqrt{2}$i；
②線性回歸方程對應的直線$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$一定經過其樣本數(shù)據(jù)點（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一個點；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），則$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=-1；
④用數(shù)學歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個因式是2（2k+1）．

Answer 1

分析 根據(jù)復數(shù)的運算性質，可判斷①；根據(jù)回歸直線的幾何特征，可判斷②；令x=$\frac{1}{2}$，結合組合數(shù)公式，可判斷③；根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，可判斷④．

解答 解：①若復數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z²=-2，z=$±\sqrt{2}i$，z³=±2$\sqrt{2}$i，故①錯誤；
②線性回歸方程對應的直線$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$一定經過其樣本中心數(shù)據(jù)點（$\overline{x}，\overline{y}$），但可能不經過任一個數(shù)據(jù)點，故②錯誤；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，令x=$\frac{1}{2}$，則（1-2x）²⁰¹²=a₀+$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=1+$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=0，則$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=-1，故③正確；
④用數(shù)學歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時，、
若n=k時成立，則（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k•1•3…（2k-1）
則n=k+1時，應有（k+2）（k+2）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）=2^k+1•1•3…（2k+1）
則從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個因式是2（2k+1），故④正確．
故說法正確的是：③④，
故答案為：③④

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，此類題型往往綜合較多的其它知識點，綜合性強，難度中檔．