Question

1．解關(guān)于x的不等式：ax²-2ax-1＜0，已知常數(shù)a∈R．

Answer 1

分析 討論a=0與a＞0和a＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)不等式的解集是什么，分別求出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式等價(jià)于-1＜0，對(duì)x∈R恒成立；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=4a²+4a＞0恒成立，對(duì)應(yīng)方程ax²-2ax-1=0的兩根為
x₁=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，
所以原不等式的解集為{x|1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，①若△=4a²+4a＜0，即-1＜a＜0，原不等式的解集為R；
②若△=4a²+4a=0，即a=-1時(shí)，原不等式化為（x-1）²＞0，解得{x|x≠1}；
③若△=4a²+4a＞0，即a＜-1時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，或x＞1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}；
綜上：當(dāng)a＜-1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，或x＞1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}，
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠1}，
當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，不等式的解集為R，
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行討論，是中檔題目．