Question

【題目】給定橢圓：，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”，若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作橢圓的“伴隨圓”的動(dòng)弦，過(guò)點(diǎn)、分別作“伴隨圓”的切線(xiàn)，設(shè)兩切線(xiàn)交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)的軌跡是直線(xiàn)，并寫(xiě)出該直線(xiàn)的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓的“伴隨圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)、，試判斷直線(xiàn)、是否垂直？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見(jiàn)解析；

（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意可得，，則，從而得到橢圓C的方程；

（2）根據(jù)題意，求得，分直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況，將斜率存在時(shí)求得的直線(xiàn)，對(duì)斜率不存在時(shí)求得的點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)，最后求得結(jié)果.

（3）討論當(dāng)P在直線(xiàn)上時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓方程，消去，得到關(guān)于的方程，運(yùn)用判別式為0，化簡(jiǎn)整理，得到關(guān)于的方程，求出連根之積，判斷是否為，即可判斷垂直.

（1）依題意得：，所以，

所以橢圓方程為：；

（2）由題意可得伴隨圓的方程為，

點(diǎn)為，所以，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，則，

可求得，此時(shí)，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：，

設(shè)，，

則經(jīng)過(guò)各自的切線(xiàn)方程為：，

把代入，解得，

消，得到，

當(dāng)不存在時(shí)，也滿(mǎn)足方程，

所以點(diǎn)的軌跡是一條直線(xiàn)，且方程為；

（3）當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為：，此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)或，

則直線(xiàn)的方程為：，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足垂直關(guān)系；

當(dāng)斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)P在伴隨圓上，所以有，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：，

聯(lián)立橢圓方程，

，消化簡(jiǎn)得，

因?yàn)橄嗲�，所�?/span>，即：，

又因?yàn)?/span>，

所以，所以，

所以直線(xiàn)，

從而得證.