Question

16．（1）已知z₁，z₂是兩個虛數(shù)，并且z₁+z₂與z₁z₂均為實數(shù)，求證：z₁，z₂是共軛復(fù)數(shù)
（2）求證：無論θ為何值，方程x²-（tanθ+i）x-（i+2）=0都不可能有純虛數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），且b，d≠0，則z₁+z₂=（a+c）+（b+d）i為實數(shù)，可得b+d=0．由z₁z₂=（ac-bd）+（ad+bc）i為實數(shù)，可得bc+ad=0，
把d=-b代入上式可得c=a．即可證明．
（2）假設(shè)此方程有純虛數(shù)根bi（b∈R且b≠0），代入可得：（bi）²-（tanθ+i）bi-（i+2）=0，化為（b²-b+2）+（btanθ+1）i=0，由b²-b+2=0無實數(shù)根，可得設(shè)不成立，因此原命題成立．

解答 證明：（1）設(shè)z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），且b，d≠0，
則z₁+z₂=（a+c）+（b+d）i為實數(shù)，可得b+d=0．
由z₁z₂=（ac-bd）+（ad+bc）i為實數(shù)，可得bc+ad=0，
把d=-b代入上式可得：b（c-a）=0，
∵b≠0，∴c=a．∴z₁，z₂是共軛復(fù)數(shù)．
（2）假設(shè)此方程有純虛數(shù)根bi（b∈R且b≠0），代入可得：（bi）²-（tanθ+i）bi-（i+2）=0，化為（b²-b+2）+（btanθ+1）i=0，
∵b²-b+2=$（b-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$＞0，因此b²-b+2=0無實數(shù)根，這與假設(shè)矛盾，
∴假設(shè)不成立，
因此原命題成立．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)知識、反證法等，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．