Question

17．已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3在x∈[-1，1]上恒小于零，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 通過討論a的值，判斷函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，分別根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：①a=0時，函數(shù)f（x）=2x-3是增函數(shù)，
而f（1）=-1＜0，
∴函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3在x∈[-1，1]上恒小于零；
②a≠0時，函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，
若函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3在x∈[-1，1]上恒小于零，
則只需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4+24a＞0}\\{{x}_{1}=\frac{-1-\sqrt{1+6a}}{2a}＜-1}\\{{x}_{2}=\frac{-1+\sqrt{1+6a}}{2a}＞1}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$
或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得：a＜-1$\frac{1}{6}$，
或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＞0}\\{{x}_{2}＞1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{6}$＜a＜0，
或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△＞0}\\{{x}_{1}＜-1}\end{array}\right.$無解，
綜上：a＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．