Question

4．設(shè)F₁和F₂是雙曲線$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ為$為參數(shù)）的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F₁PF₂=90°，那么△F₁PF₂的面積是（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． 2
• D． 5

Answer 1

分析 由雙曲線$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ為$為參數(shù)），消去參數(shù)θ可得：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．利用雙曲線的定義與勾股定理即可得出．

解答 解：由雙曲線$\left\{\begin{array}{l}x=2secθ\\ y=tanθ\end{array}\right.（θ為$為參數(shù)），消去參數(shù)θ可得：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
可得a=2，b=1，∴$c=\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，
則$\left\{\begin{array}{l}{m-n=2a=4}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}=20}\end{array}\right.$，可得mn=2．
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}mn$=1．
故選：A．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、雙曲線的定義、勾股定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．