Question

10．偏差是指個別測定值與測定的平均值之差，在成績統(tǒng)計中，我們把某個同學(xué)的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差，在某次考試成績統(tǒng)計中，某老師為了對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x（單位：分）與物理偏差y（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下：

學(xué)生序號	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)偏差x	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

（Ⅰ）若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）若該次考試該班數(shù)學(xué)平均分為120分，物理平均分為91.5分，試由（1）的結(jié)論預(yù)測數(shù)學(xué)成績?yōu)?28分的同學(xué)的物理成績．
參考數(shù)據(jù)：
$\sum_{i=1}^{8}$x_iy_i=20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（-5）×（-0.5）+（-10）×（-2.5）+（-18）×（-3.5）=324
$\sum_{i=1}^{8}$x${\;}_{i}^{2}$=20²+15²+13²+3²+2²+（-5）²+（-10）²+（-18）²=1256．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)利用最小二乘法．寫出線性回歸方程的系數(shù)和a的值，寫出線性回歸方程，注意運算過程中不要出錯．
（Ⅱ）求出物理偏差、數(shù)學(xué)偏差，利用線性回歸方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\overline{x}$=$\frac{1}{8}$（20+15+13+3+2-5-10-18）=2.5，…（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{8}$（6.5+3.5+3.5+1.5+0.5-0.5-2.5-3.5）=1.125，…（2分）
所以b=$\frac{324-8×2.8×1，125}{1256-8×2．{5}^{2}}$=0.25，…（5分）
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=0.5，…（8分）
故y關(guān)于x的線性回歸方程：y=0.25x+0.5．           　 　          　      …（9分）
（Ⅱ）由題意，設(shè)該同學(xué)的物理成績?yōu)閣，則物理偏差為：w-91.5．               …（10分）
而數(shù)學(xué)偏差為128-120=8，…（11分）
∴w-91.5=0.25×8+0.5，…（12分）
解得w=94，…（13分）
所以，可以預(yù)測這位同學(xué)的物理成績?yōu)?4分．

點評 本題考查線性回歸方程，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法寫出線性回歸系數(shù)，注意解題的運算過程不要出錯．