Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PD⊥底面ABCD，AD=2，∠DAB=60°，E為BC的中點．
（Ⅰ）證明：AD⊥平面PDE；
（Ⅱ）若PD=2，求點E到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，由已知得△BDC的等邊三角形從而DE⊥AD，由線面垂直得PD⊥AD，由此能證明AD⊥平面PDE．
（2）以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面PAC的法向量，利用向量法能求出點E到平面PAC的距離．

解答 （1）證明：連結(jié)BD，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PD⊥底面ABCD，AD=2，∠DAB=60°，E為BC的中點，
∴△BDC的等邊三角形，∴DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∵PD⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又∵PD∩DE=D，∴AD⊥平面PDE．
（2）解：以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
由已知得P（0，0，2），A（2，0，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），E（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{PE}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
設平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+\sqrt{3}y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
∴點E到平面PAC的距離：d=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．