Question

2．已知△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足關(guān)系式cos²A+cos²B+cos²C=1，請(qǐng)判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 由已知可得sin²A+sin²B+sin²C=2，由余弦定理及正弦定理可得sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，由三角函數(shù)恒等變換可得2sinAsinBcosC=2cosC（cosAcosB+sinAsinB），既有cosCcosAcosB=0，由于A(yíng)+B+C=180°且A，B，C均大于0°，從而可得CosA、cosB、cosC之中至少有一個(gè)是0，即可得解．

解答 解：∵若cos²A+cos²B+cos²C=1，
∴3-（sin²A+sin²B+sin²C）=1，
∴sin²A+sin²B+sin²C=2．
而，sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，（余弦定理，正弦定理結(jié)合）
則有，2sin²A+2sin²B-2sinAsinBcosC=2，
則，2sinAsinBcosC=2sin²A+2sin²B-2
=-cos（2A）-cos2B=-2cos（A+B）cos（A-B）=2cosCcos（A-B）
=2cosC（cosAcosB+sinAsinB），
即，cosCcosAcosB=0，A+B+C=180°且A，B，C均大于0°．
CosA、cosB、cosC之中至少有一個(gè)是0．
即 A、B、C 之中至少有一個(gè)是90°，
故三角形ABC為直角△．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，綜合性技巧性較強(qiáng)，屬于中檔題．