Question

19．已知四邊形ABCD，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（1，1），$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，則四邊形ABCD的面積為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用向量加法的平行四邊形法則得到四邊形ABCD是菱形且∠BAD=120°，因此算出|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|=$\sqrt{2}$，即可求出四邊形ABCD的面積．

解答 解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，
因?yàn)?\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
所以AC是平行四邊形ABCD的角平分線，平行四邊形為菱形，且∠BAD=120°，
根據(jù)$\overrightarrow{AB}$=（1，1）可得菱形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．
因此四邊形ABCD的面積S=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×sin60°=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題給出四邊形ABCD滿足的向量等式，求四邊形ABCD的面積．著重考查了向量加法的平行四邊形法、向量模的公式與平行四邊形面積求法等知識(shí)，屬于中檔題．