Question

5．若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：（�。┲本�l在點(diǎn)P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ⅱ）曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C．下列命題正確的是②④⑤．
①直線l：x=-1在點(diǎn)P（-1，0）處“切過(guò)”曲線C：y=（x+1）²；
②直線l：y=0在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=x³；
③直線l：y=x-1在點(diǎn)P（1，0）處“切過(guò)”曲線C：y=lnx；
④直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=sinx；
⑤直線l：y=x在點(diǎn)P（0，0）處“切過(guò)”曲線C：y=tanx．

Answer 1

分析 分別求出每一個(gè)命題中曲線C的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)值，求出曲線在點(diǎn)P處的切線方程，再由曲線在點(diǎn)P兩側(cè)的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)直線上點(diǎn)的值的大小判斷是否滿足（ii），則正確的選項(xiàng)可求．

解答 解：對(duì)于①，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），則y′|_x=-1=0，
而直線l：x=-1的斜率不存在，在點(diǎn)P（-1，0）處不與曲線C相切，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過(guò)點(diǎn)P（0，0）的曲線C的切線，
又當(dāng)x＞0時(shí)y＞0，當(dāng)x＜0時(shí)y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側(cè)，故②正確；
對(duì)于③，由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，
g′（x）＞0．則g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=0=1，直線y=x是過(guò)點(diǎn)P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，
故④正確；
對(duì)于⑤，y=tanx的導(dǎo)數(shù)為y′=sec²x，則y′|_x=0=1，直線y=x是過(guò)點(diǎn)P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)x＞tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)x＜tanx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，
故⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查新定義的理解，屬于中檔題和易錯(cuò)題．