Question

10．如圖1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于點A，將△PAD沿AD折起，構(gòu)成如圖2所示的四棱錐P-ABCD，點M的棱PB上，且PM=$\frac{1}{2}$MB．
（1）求證：PD||平面MAC；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，交AC于N，連結(jié)MN，推導(dǎo)出MN∥PD，由此能證明PD∥平面MAC．
（2）以A為原點，分別以AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-AC-B的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，交AC于N，連結(jié)MN，
依題意知AB∥CD，∴△ABN～△CDN，∴$\frac{BN}{ND}=\frac{BA}{CD}=2$，
∵PM=$\frac{1}{2}$MB，∴$\frac{BN}{ND}=\frac{BM}{MP}=2$，
∴在△BPD中，MN∥PD，
又∵PD?平面MAC，MN?平面MAC，
∴PD∥平面MAC．
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PA⊥AD，PA?平面PAD，∴PA⊥平面PAD，
又AD⊥AB，從而PA，AD，AB兩兩垂直，
以A為原點，分別以AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意AP=AD=1，AB=2，又PM=$\frac{1}{2}$MB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，1），M（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），C（1，1，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
∵PA⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面BAC的一個法向量，
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面MAC的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
設(shè)二面角M-AC-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角M-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．