Question

15．在國際風(fēng)帆比賽中，成績以低分為優(yōu)勝，比賽共11場，并以最佳的9場成績計(jì)算最終的名次．在一次國際風(fēng)帆比賽中，前7場比賽結(jié)束后，排名前8位的選手積分如表：

運(yùn)動員	比賽場次											總分
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
A	3	2	2	2	4	2	6					21
B	1	3	5	1	10	4	4					28
C	9	8	6	1	1	1	2					28
D	7	8	4	4	3	1	8					35
E	3	12	5	8	2	7	5					42
F	4	11	6	9	3	6	8					47
G	10	12	12	8	12	10	7					71
H	12	12	6	12	7	12	12					73

（1）根據(jù)表中的比賽數(shù)據(jù)，比較A與B的成績及穩(wěn)定情況；
（2）從前7場平均分低于6.5的運(yùn)動員中，隨機(jī)抽取2個運(yùn)動員進(jìn)行興奮劑檢查，求至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的概率．
（3）請依據(jù)前7場比賽的數(shù)據(jù)，預(yù)測冠亞軍選手，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由表格中的數(shù)據(jù)，我們可以分別求出運(yùn)動員A和B前7場比賽積分的平均數(shù)和方差，作為度量兩運(yùn)動員比賽的成績及穩(wěn)定性的依據(jù)．從平均分和積分的方差來看，運(yùn)動員A的平均積分及積分的方差都比運(yùn)動員B的小，也就是說，在前7場比賽過程中，運(yùn)動員A的成績最為優(yōu)秀，且表現(xiàn)也最為穩(wěn)定．
（2）表中平均分低于6.5分的運(yùn)動員共有5個，其中平均分低于5分的運(yùn)動員有3個，平均分不低于5分且低于6.5分的運(yùn)動員有職有2個，從這5個數(shù)據(jù)中任取2個，至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的對立事件是取到的兩人的平均分都低于5分，由此能求出至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的概率．
（3）盡管此時還有4場比賽沒有進(jìn)行，但這里我們可以假設(shè)每位選手在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平大致相同，因而可以把前7場比賽的成績看作總體的一個樣本，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，我們可以分別求出運(yùn)動員A和B前7場比賽積分的平均數(shù)和方差，
作為度量兩運(yùn)動員比賽的成績及穩(wěn)定性的依據(jù)．
運(yùn)動員A的平均分$\overline{{x}_{1}}$=$\frac{1}{7}×21$=3，
方差${{S}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{7}$[（3-3）²+（2-3）²+（2-3）²+（2-3）²+（2-3）²+（4-3）²+（6-3）²]=2；
運(yùn)動員B的平均分$\overline{{x}_{2}}$=$\frac{1}{7}×28$=4，
方差${{S}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{7}$[（1-4）²+（1-4）²+（3-4）²+（5-4）²+（10-4）²+（4-4）²+]（4-4）²]=8，
從平均分和積分的方差來看，運(yùn)動員A的平均積分及積分的方差都比運(yùn)動員B的小，
也就是說，在前7場比賽過程中，運(yùn)動員A的成績最為優(yōu)秀，且表現(xiàn)也最為穩(wěn)定．
（2）表中平均分低于6.5分的運(yùn)動員共有5個，其中平均分低于5分的運(yùn)動員有3個，
平均分不低于5分且低于6.5分的運(yùn)動員有職有2個，
從這5個數(shù)據(jù)中任取2個，基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{2}=10$，
至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的對立事件是取到的兩人的平均分都低于5分，
∴至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的概率p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
（3）盡管此時還有4場比賽沒有進(jìn)行，但這里我們可以假設(shè)每位選手在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平大致相同，
因而可以把前7場比賽的成績看作總體的一個樣本，并由此估計(jì)每位運(yùn)動員最后的成績，
從已結(jié)束的7場比賽的積分來看，運(yùn)動員A的成績最為出色，而且表現(xiàn)最為穩(wěn)定，
故預(yù)測A運(yùn)動員獲得最后的冠軍，而運(yùn)動員B和C平均分相同，但運(yùn)動員C得分整體呈下降趨勢，
所以預(yù)測運(yùn)動員C將獲得亞軍．

點(diǎn)評 本題考查平均數(shù)、方差、古典概型等基本礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識，考查必然與或然思想等，是基礎(chǔ)題．