Question

3．（1）已知圓0₁：（x-3）²+（y-4）²=1．P（x，y）為圓O上的動(dòng)點(diǎn)．求d=x²+y²的最大、最小值．
（2）己知圓0₂．（x+2）²+y²=1．P（x．y）為圓上任-點(diǎn)，求$\frac{y-2}{x-1}$的最大、最小值．求x-2y的最大、最小值．

Answer 1

分析 （1）求得圓0₁的圓心和半徑，d=x²+y²表示與原點(diǎn)O的距離的平方，由圓的性質(zhì)，可得最值；
（2）求得圓0₂的圓心和半徑，$\frac{y-2}{x-1}$表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（1，2）的斜率，由直線和圓相切的條件：d=r，計(jì)算即可得到最值；再令x-2y=t，由直線和圓相切的條件，計(jì)算即可得到最值．

解答 解：（1）圓0₁：（x-3）²+（y-4）²=1的圓心O₁（3，4），半徑r=1，
d=x²+y²表示與原點(diǎn)O的距離的平方，即有$\sqrtuagwqyg$的最大值為OO₁+r=5+1=6，
最小值為OO₁-r=5-1=4，
則d的最大值為36，最小值為16；
（2）圓0₂：（x+2）²+y²=1的圓心O₂（-2，0），半徑為1，
$\frac{y-2}{x-1}$表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（1，2）的斜率，設(shè)為k，
即有kx-y+2-k=0，
由直線和圓相切，d=r即$\frac{|-2k-0+2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{3±\sqrt{3}}{4}$，
則$\frac{y-2}{x-1}$的最大值為$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，最小值為$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$；
令x-2y=t，由直線和圓相切的條件，可得$\frac{|-2-0-t|}{\sqrt{1+4}}$=1，
解得t=-2+$\sqrt{5}$或-2-$\sqrt{5}$，
即有x-2y的最大值為-2+$\sqrt{5}$，最小值為-2-$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查相切的條件：d=r，以及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．