Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）且x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最值．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$、|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最值，代入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，換元后利用配方法求得函數(shù)的最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}$=cos2x，
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）$，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=2|cosx|$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x+2|cosx|，
又x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）=2cos²x+2cosx-1，
令t=cosx（0≤t≤1），
則函數(shù)化為y=$2{t}^{2}+2t-1=2（t+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$，
∴當t=0時，y_min=-1，當t=1時，y_max=3．
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值為-1，最大值為3．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，訓(xùn)練了利用換元法和配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．