Question

16．已知平面向量$\overrightarrow{OA}=（1，7），\overrightarrow{OB}=（5，1）$，$\overrightarrow{OP}=（2，1）$．
（Ⅰ）若向量k$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$與2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，求實(shí)數(shù)k的值．
（Ⅱ）若點(diǎn)Q為直線OP上一動(dòng)點(diǎn)，求$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量k$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$與2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$平行，得到k=2λ，2=-λ，求出k的值即可；
（Ⅱ）設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{QA}$，$\overrightarrow{BQ}$的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出其最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：k$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=λ（2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），
∵$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共線，
∴k=2λ，2=-λ，解得：k=-4；
（Ⅱ）由題意設(shè)Q（2x，x），$\overrightarrow{QA}$=（1-2x，7-x），$\overrightarrow{BQ}$=（5-2x，1-x），
∴$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=5x²-20x+12=5（x-2）²-8，
當(dāng)x=2時(shí)，$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$取得最小值-8．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的運(yùn)算，考查共線向量問題，是一道基礎(chǔ)題．