Question

9．已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G．若△AGM的面積為$\frac{1}{12}$，則△AGN的面積為$\frac{{\sqrt{3}+1}}{24}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠AGM=α，由已知可得AG，∠MAG的值，由正弦定理可得得GM=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α+\frac{π}{6}）}$，由S_AGM=$\frac{1}{2}$GM•GA•sinα=$\frac{1}{6（\sqrt{3}+cotα）}$=$\frac{1}{12}$，解得：cotα=2-$\sqrt{3}$，又利用正弦定理可得GN=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α-\frac{π}{6}）}$，則可求S_AGN=$\frac{1}{2}$GN•GA•sin（π-α）=$\frac{1}{6（\sqrt{3}-cotα）}$的值．

解答 解：因為G為邊長為1的正三角形ABC的中心，
所以AG=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠MAG=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理$\frac{GM}{sin\frac{π}{6}}=\frac{GA}{sin（π-α-\frac{π}{6}）}$，得GM=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α+\frac{π}{6}）}$，．
 則S_AGM=$\frac{1}{2}$GM•GA•sinα=$\frac{sinα}{12sin（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{1}{6（\sqrt{3}+cotα）}$）=$\frac{1}{12}$，
解得：cotα=2-$\sqrt{3}$，
又$\frac{GN}{sin\frac{π}{6}}=\frac{GA}{sin（α-\frac{π}{6}）}$，得GN=$\frac{\sqrt{3}}{6sin（α-\frac{π}{6}）}$，
則S_AGN=$\frac{1}{2}$GN•GA•sin（π-α）=$\frac{sinα}{12sin（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{1}{6（\sqrt{3}-cotα）}$=$\frac{1}{6（\sqrt{3}-2+\sqrt{3}）}$=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{24}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}+1}}{24}$

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式的綜合應(yīng)用，將△AGM、△AGN的面積表示為α的函數(shù)是解題的關(guān)鍵．