Question

7．在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BE}$=1，則BD的長為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法則和平行四邊形法則和數(shù)量積得運算即可得出

解答 解：如圖，∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{EC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）（\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=1，
化簡得$2{\overrightarrow{AB}}^{2}-|\overrightarrow{AB}|=0$，$|\overrightarrow{AB}|≠0$，所以$|\overrightarrow{AB}|$=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∴$|\overrightarrow{BD}{|}^{2}={\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=1+$\frac{1}{4}$-2×$1×\frac{1}{2}×cos60°$=$\frac{3}{4}$，
所以$|\overrightarrow{BD}|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則以及利用數(shù)量積求線段的長度；熟練掌握向量的三角形法則和平行四邊形法則和數(shù)量積得運算是解題的關(guān)鍵．