Question

6．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的方程ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=at}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于A、B兩點．
（I）當|AB|最大時，求實數(shù)a的值；
（II）當|AB|最小時，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入即可得到直角坐標方程，當|AB|最大時，直線l經(jīng)過圓心（1，1）．
（II）當|AB|最小時，直線l與圓相切，即可得出．

解答 解：（I）曲線C的方程ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ-sinθ），可得直角坐標方程：x²+y²-2x+2y=0，配方為（x-1）²+（y-1）²=2，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=at}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為直角坐標方程；y=$\frac{a}{2}$x，
當|AB|最大時，直線l經(jīng)過圓心（1，1），∴1=$\frac{1}{2}a$，解得a=2．
（II）當|AB|最小時，直線l與圓相切，∴$\frac{|a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\sqrt{2}$，解得a=-2．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．