Question

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求m的值；
（Ⅱ）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，

因?yàn)锳（-1，0），，
所以 點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，
所以 ，解得 ．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則 ，①
因?yàn)?M是線段AP的中點(diǎn)，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因?yàn)?OP⊥OM，所以，
所以，即 ．②
由 ①，②消去y₀，整理得 ．
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式等號(hào)成立．
所以m的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）由題意知M是線段AP的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得到m值；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），則 ，①由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用M坐標(biāo)表示P點(diǎn)坐標(biāo)，由OP⊥OM得②，聯(lián)立 ①②消去y₀，分離出m用基本不等式即可求得m的范圍；
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系、橢圓的簡單性質(zhì)，屬中檔題，垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為0是常用手段，要靈活運(yùn)用．