Question

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱．

（Ⅰ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；

（Ⅱ）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

(I) ；(II) .

【解析】

試題分析：(I)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求M坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求m；（II）設(shè)，表示出P坐標(biāo)，再利用垂直條件寫關(guān)系式，求的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）解：依題意，是線段的中點(diǎn)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091501545329954145/SYS201309150155528065716094_DA.files/image008.png">，，

所以 點(diǎn)的坐標(biāo)為．2分

由點(diǎn)在橢圓上，   

所以 ，                                             4分

解得 ．                                                    5分

（Ⅱ）解：設(shè)，則 ，且．                   ①        6分

因?yàn)?是線段的中點(diǎn)，

所以 ．                                            7分

因?yàn)?，

所以 ．             ②                            8分

由 ①，② 消去，整理得 ．                        10分

所以 ，                     12分

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式等號成立．                        

所以 的取值范圍是．                                13分

考點(diǎn)：1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式;2.基本不等式，分離常數(shù);3.轉(zhuǎn)化思想.