Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，試求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據題意和等差數列的前n項和公式、通項公式，列出關于a₁、d方程組，求出a₁、d的值，代入等差數列的通項公式求a_n；
（2）根據（1）化簡數列的通項

1

anan+1

，利用裂項相消法求出T_n．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
因為S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1，
所以

4a1+ 4×3 2 ×d=4(2a1+d) a1+(2n-1)d=2[a1+(n-1)d]+1

，
解得a₁=1、d=2，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N^*）；…（6分）
（2）由（1）得，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．…（12分）

點評：本題考查等差數列的前n項和公式、通項公式，以及裂項相消法求數列的和，注意求數列的和應先求出它的通項公式，這是�？嫉念}型．