Question

【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)．分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段的長(zhǎng)度為a，在線段上取兩個(gè)點(diǎn)，，使得，以為一邊在線段的上方做一個(gè)正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第個(gè)圖形（圖1為第1個(gè)圖形）中的所有線段長(zhǎng)的和為，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列的四個(gè)命題：

①數(shù)列是等比數(shù)列；

②數(shù)列是遞增數(shù)列；

③存在最小的正數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù) ，都有 ；

④存在最大的正數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)，都有．

其中真命題的序號(hào)是________________（請(qǐng)寫出所有真命題的序號(hào)）.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

通過(guò)分析圖1到圖4，猜想歸納出其遞推規(guī)律，再判斷該數(shù)列的性質(zhì)，即可求解。

由題意，得圖1中線段為，即；

圖2中正六邊形邊長(zhǎng)為，則；

圖3中的最小正六邊形邊長(zhǎng)為，則；

圖4中的最小正六邊形邊長(zhǎng)為，則；

由此類推，，

所以為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列，即①錯(cuò)誤，②正確；

因?yàn)?/span>

，

即存在最大的正數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)，都有，

即④正確；③錯(cuò)誤，

綜上可知正確的由②④。