Question

3．如圖，已知⊙M：（x-4）²+y²=1和拋物線C：y²=2px（p＞0，其焦點為F），且$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{15}{4}$，0，），過拋物線C上一點H（x₀，y₀）（y₀≥1）作兩條直線分別與⊙M相切于A、B兩點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求直線AB在y軸上的截距的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點和圓的圓心，由條件可得圓心M到拋物線C的焦點的距離為$\frac{15}{4}$，即可得到拋物線方程；
（2）設出H的坐標，由中點坐標公式和直徑式圓的方程可得MH為直徑的圓，運用和已知圓相減，可得AB的方程，再令x=0，可得截距的表達式，由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：（1）由題意知⊙M的圓心M的坐標為（4，0），
拋物線C的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
由$\overrightarrow{FM}$=（$\frac{15}{4}$，0），
圓心M到拋物線C的焦點的距離為$\frac{15}{4}$，即4-$\frac{p}{2}$=$\frac{15}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
從而拋物線C的方程為y²=x；
（2）由（1）知，設點H （y₀²，y₀），
則HM的中點（$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），
以HM為直徑的圓為（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{0}}{2}$）²=$\frac{（{{y}_{0}}^{2}-4）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{4}$…①
⊙M：（x-4）²+y²=1 …②
①-②得：直線AB的方程為（4-y₀²）x-y₀y+4y₀²-15=0，
令x=0，得直線AB在y軸上的截距為d=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-15}{{y}_{0}}$=4y₀-$\frac{15}{{y}_{0}}$（y₀≥1）
函數(shù)f（y₀）=4y₀-$\frac{15}{{y}_{0}}$在[1，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴直線AB在y軸上的截距的最小值為4×1-$\frac{15}{1}$=-11．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線方程的運用，同時考查圓的方程的運用，由四點共圓和兩元方程相減得到相交弦方程是解題的關鍵，屬于中檔題．